Progressões Matemáticas

O que é uma progressão matemática?

Primeiramente, precisamos saber que existem dois tipos de progressões numéricas, as aritméticas e geométricas. Cada uma delas possui características específicas que as fazem únicas, porém, ambas compartilham características em comum, e é isso que vamos tentar entender primeiro.

Antes de tudo, vale dizer que uma progressão numérica nada mais é que uma sequência numérica que contém algum tipo de padrão. Exemplo…

{2, 4, 8, 16, 32...}

para os observadores, é facil notar que a sequência evolui multiplicando o primeiro termo por dois e assim em diante. Outro fator importante para a consideração de uma progressão numérica é a existência de uma razão (que no geral chamamos de “R”), uma maneira simples de entender isso é a seguinte, levando em consideração a mesma sequência que apresentei acima e entendendo a forma na qual ela progride é possível dizer que a razão dessa progressão numérica é de 2, simples assim.

Portanto, através dessas 2 características é possível se identificar uma progressão matemática, seja ela aritmética ou geométrica. Devido esse padrão previsível das progressões matemáticas é possível calcular qualquer termo dessa sequência atravês do uso de fórmulas.

Progressões Aritméticas

Sabendo da existência dos dois tipos de progressões (aritméticas e geométricas) e o que as caracteriza como sendo progressões matemáticas, fica bem mais simples de se entender as suas individualidades, na progressão aritmética o próximo termo (o número que vem a seguir na sequência) é constituído pela soma da razão com o número anterior.

Por exemplo, na sequência…

{2, 4, 6, 8, 10...}

é implícito que a sequência está aumentando de 2 em 2, por isso, podemos dizer que a razão da sequência é r = 2 e com isso também é possível prever que o próximo termo dessa sequência é 12.

Termos de uma PA (Progressão Aritmética)

Em muitos casos você vai ser instruído a encontrar um termo específico de uma PA, que normalmente demoraria muito para ser escrita manualmente, e para isso é necessário o uso de uma fórmula simples que vai requerer apenas o primeiro termo da razão. Segue abaixo a fórmula que deve ser utilizada e o significado de cada uma das letras:

aⁿ = a¹ + (n - 1)r

aⁿ: Termo específico da sequência ou o termo a ser encontrado
a¹: Primeiro termo da sequência
n: Posição do termo a ser encontrado (enésimo termo da sequência)
r: Razão da sequência numérica

Vamos tentar desenvolver uma questão exemplo para entender melhor essa fórmula. Encontre o 25º termo de uma sequência aritmética onde r = 3 e a¹ = 12. Para isso, basta aplicar a fórmula substituindo os respectivos valores…

a²⁵ = 12 + (25 - 1) * 3
a²⁵ = 12 + 24 * 3
a²⁵ = 12 + 72
a²⁵ = 84

Resolvendo a fórmula temos que o vigésimo quinto termo da sequência é o número 84, simples não é?

Termo geral da PA

O termo geral de uma PA é uma maneira de simplificar a fórmula de um termo da PA. A fim de encontrar o termo geral de uma PA, basta conhecer o primeiro termo e a razão da PA, após substituir ambos na fórmula basta fazer o cálculo normalmente, vamos exemplificar o cálculo usando os seguintes valores a¹ = 25 e r = 6

aⁿ = 25 + (n - 1) * 6
aⁿ = 25 + 6n - 6
aⁿ = 19 + 6n

Após resolver você obterá uma equação de primeiro grau que deverá ser uma versão simplificada da fórmula original, esse resultado pode ser utilizado para encontrar qualquer termo dessa progressão.

Por exemplo, caso você queira encontrar o 12º termo dessa progressão usando o termo geral, basta substituir o valor N na fórmula:

a¹² = 19 + 6 * 12
a¹² = 19 + 72
a¹² = 91

Soma dos termos da PA

Sⁿ = (a¹ + aⁿ) * n / 2

Sⁿ: Soma dos termos da sequência (resultado final)
aⁿ: Último termo da sequência
a¹: Primeiro termo da sequência
n: Quantidade de termos existentes

A soma dos termos de uma PA é algo que pode ser cobrado em algumas avaliações ou vestibulares, portanto, iremos abordar o assunto rapidamente. Essa fórmula serve para calcular a soma de todos os termos de uma PA até um termo ’n’. Um exemplo simples de como essa fórmula pode ser útil é o seguinte…

Dado a seguinte sequência numérica de números ímpares de r = 2 {1, 3, 5, 7… 99}, temos cerca de 50 termos na sequência, calcular isso tudo a mão seria uma dor de cabeça, sendo assim, tendo em mente que n = 50, a¹ = 1 e aⁿ = 99 vamos utilizar a fórmula…

Sⁿ = (1 + 99) * 50 / 2
Sⁿ = 100 * 50 / 2
Sⁿ = 5000 / 2
Sⁿ = 2500

Progressão Geométrica

Saindo um pouco da PA (progressão aritmética) vamos agora conhecer a PG (progressão geométrica), de modo geral a PG é basicamente igual a uma PA, com exceção que, o próximo termo de uma PG é calculado multiplicando o termo anterior pela razão, ao invés da soma como havia sido feito na PA. Vamos a alguns exemplos para facilitar o entendimento, no bloco abaixo estão listados vários exemplos de PG:

{ 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128... }
{ 3, 6, 12, 24, 48, 96... }
{ 17, 34, 68, 136, 272, 544... }

Para os que ao menos leram todas as sequências de verdade, deve ter ficado óbvio que todas elas possuem um r = 2 já que aumental exponencialmente de 2 em 2.

Termo de uma PG

aⁿ = a¹ * qⁿ⁻¹

Vale atentar que em uma PG a razão é representada pela letra ‘q’ em vez de ‘r’. Portanto, não estranhem em ver essa letra sendo utilizada nas fórmulas. Essa fórmula possui a mesma função que a fórmula de termo da PA, você pode utiliza-la para encontrar um termo n dentro de uma sequência de maneira rápida.

Tentaremos usar o mesmo exemplo de antes nessa fórmula, tendo que r = 3 e a¹ = 12 vamos tentar encontrar o 9º termo da sequência.

aⁿ = 12 * 3⁹⁻¹
aⁿ = 12 * 3⁸
aⁿ = 12 * (3² * 3² * 3² * 3²)
aⁿ = 12 * (9 * 9 * 9 * 9)
aⁿ = 12 * 6561
aⁿ = 78732

Dessa forma, temos que o 9º termo da PG é 78732.

Termo geral da PG

Para calcular o termo geral da PG, basta substituir os valores do primeiro termo e da razão na fórmula, tendo novamente r = 3 e a¹ = 12:

aⁿ = a¹ * qⁿ⁻¹
aⁿ = 12 * 3ⁿ⁻¹

Como a fórmula da PG envolve exponenciação, normalmente a sua única tarefa ao calcular o termo geral vai ser substituir os valores, pois o valor ’n’ do expoente se manterá o mesmo.

Soma dos termos de uma PG

Somar os termos de uma PG seria tão trabalhoso quanto somar os termos de uma PA. Então, para facilitar esse tipo de trabalho é utilizado a seguinte fórmula:

sⁿ = a¹ * qⁿ⁻¹/q - 1

Para encontrar a soma dos primeiros 10 termos da seguinte sequência { 2, 4, 8, 16, 32… }, é possível notar que os valores da sequência são r = 2 e a¹ = 2:

s¹⁰ = 2 * 2¹⁰⁻¹/2 - 1
s¹⁰ = 2 * 2¹⁰⁻¹
s¹⁰ = 2 * 2⁹
s¹⁰ = 2¹⁰
s¹⁰ = 1024

Tendo todas essas 4 fórmulas em mente e sabendo como calcular o termo geral de uma PA e de uma PG, é possível resolver grande parte das questões de progressão numérica de maneira rápida e fácil. Vale sempre lembrar que a teoria não é nada sem a prática! Portanto, vou deixar uma pequena lista de questões para você resolver por conta própria.

Exercícios

Determine o próximo termo da sequência aritmética: {10, 15, 20, 25, …}
Encontre o 15º termo da sequência aritmética em que o primeiro termo é 3 e a razão é 7.
Calcule a soma dos primeiros 8 termos da sequência aritmética: {2, 6, 10, 14, …}
Encontre o próximo termo da sequência geométrica: {2, 6, 18, 54, …}
Calcule o 10º termo da sequência geométrica em que o primeiro termo é 5 e a razão é 3.
Determine a soma dos primeiros 6 termos da sequência geométrica: {3, 9, 27, 81, …}

Resolva essas questões utilizando as fórmulas e conceitos apresentados sobre progressões aritméticas e geométricas.